克莱因瓶,不可能的设想

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在数学领域中，克莱因瓶（Klein bottle）是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有内部和外部之分。

克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。克莱因瓶在三维空间中只能做出浸入模型（允许与自身相交），它的结构非常简单，一个瓶子底部有一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有边，它的表面不会终结。它也不类似于气球 ，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。

克莱因瓶这个名字的翻译其实是有些错误的，因为最初用德语命名时候名字中Kleinsche Flche是克莱因平面的意思。大概是误写成了Flasche，这个词才是瓶子的意思。不过不要紧，瓶子这个词用起来也非常合适。

1882年，著名数学家菲利克斯克莱因(Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名瓶子。这是一个象球面那样封闭的曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。

在数学上，克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果观察克莱因瓶的图片，有一点似乎令人困惑克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。

事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。用扭结来打比方。如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。有趣的是，如果把克莱因瓶沿着它的对称线切下去，竟会得到两个莫比乌斯环。

如果莫比乌斯带能够完美的展现一个二维空间中一维可无限扩展之空间模型的话，克莱因瓶只能作为展现一个三维空间中二维可无限扩展之空间模型的参考。因为在制作莫比乌斯带的过程中，我们要对纸带进行180度翻转再首尾相连，这就是一个三维空间下的操作。理想的三维空间中二维可无限扩展之空间模型应该是在二维面中，朝任意方向前进都可以回到原点的模型，而克莱因瓶虽然在二维面上可以向任意方向无限前进，但是只有在两个特定的方向上才会回到原点，并且只有在其中一个方向上，回到原点之前会经过一个逆向原点，真正理想的三维空间中二维可无限扩展之空间模型也应该是在二维面上朝任何方向前进，都会先经过一次逆向原点，再回到原点。而制作这个模型，则需要在四维空间上对三维模型进行扭曲。数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，克莱因瓶和莫比乌斯带变成了拓扑学中最有趣的问题之一。莫比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。

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