杨辉的历史影响——杰出的数学教育家

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杨辉是著名的数学家和数学教育家，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，他为初学者制订的 习算纲目 是中国数学教育史上的重要文献。
杨辉三角：杨辉在《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为 开方做法本源 ，现在简称 杨辉三角 。这一研究比欧洲早了近400年。
从实践出发的数学教育思想 中国古代数学是随着算筹的发明而形成的。算筹，简称 算 、 筹 、 策 等，也称 筹策 ，是中国古代用于计算的工具。一般用竹制成，也有用铁制、骨制或象牙制的。用算筹摆成数学进行计算称之为筹算。在珠算发明以前，数学计算都是用算筹来进行，所以 算术 的原义是即指筹算的技术。
与毛算一样，筹算的基础也是加、减、乘、除四则运算。加、减法比较简单，直接通过添上、退下算筹的方法就可以了，也就是摆上两行数字，从左到右逐位相加或相减，和或差置于第三行中。在加减运算的基础之上，乘除运算按照 九九乘法表 来完成。其中除法是作为乘法的逆运算来进行的。由于古代的算筹乘除法都要排列成上、中、下三行来进行运算，所以演算过程相当复杂。
筹算在我国古代用了大约两千年，在生产和科学技术以至人民生活中，都发挥了重大的作用。但是，它的缺点也是十分明显的。首先，在室外拿着一大把算筹进行计算就很不方便；其次，计算数字的位数越多，所需要的面积也就越大，这在无形之中就受到了环境和条件的限制；此外，当计算速度加快的时候，还很容易由于算筹摆弄不正而造成错误。随着社会的发展，计算技术要求越来越高，这就需要算筹也要相应的进行改革，这也是势在必行的。这个改革从中唐以后的商业实用算术开始，经宋、元时代的发展，就出现了大量的计算歌诀，到元末明初珠算的普遍应用，历时七百多年。
在《新唐书》中就记载了这个时期出现的大量著作。由于封建统治阶级对民间数学十分轻视，以致这些著作的绝大部分已经失传。从遗留下来的著作中可以看出，筹算的改革是从筹算的简化开始而不是从工具改革开始的，这个改革最后导致珠算的出现。
一般来说，用算筹计算，效率是很低的。随着生产的发展，商品交换的日益频繁，需要计算的量越来越多，于是算筹有待改进，就是很自然的事情了。宋代，对筹算作了两方面的改进，一是将古代上、中、下三行的算法变为在一个横行里完成，另一方面是引用了大量的运算口诀。这些口诀琅琅上口，使运算步骤得以简化，运算速度有了提高。杨辉就是在这种背景之下，继承并发展了唐、宋数学家以加减代乘除的思想方法，并对乘除算法加以创新，提出了很多乘除运算的简捷算法。为了得心应手，劳动人民便创造出更加先进的计算工具 珠算盘。
中国古代数学源远流长，自汉代起，就形成了以筹算为基础、具有独特风格的初等数学体系，后经魏、晋、南北朝、隋唐以来千余年的积累和发展，在进入两宋以后，中国古代数学开始出现空前繁荣的景象，历史上一批重要的科学家就出现在这一时期，如贾宪、刘益、沈括、秦九韶、李冶和杨辉等。
在古城钱塘（今杭州），有一位少年，他自幼聪明好学，尤其喜爱数学。但由于当时数学书籍很少，这个少年只能零碎地收集一些民间流传着的算题，并反复研究，从中增长知识。
一天，这个少年无意中听说一百多里的郊外有位老秀才，不仅精通算学，而且还珍藏了许多《九章算术》《孙子算经》等古代数学名著，非常高兴，急忙赶去。
老秀才问明来意后，望了望这位少年，不屑地说： 小子不去读圣书，要学什么算学？！
但少年仍苦苦哀求，不肯走。老秀才无奈，于是说： 好吧，听着！ 直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几何？ （用现在的话来说就是：长方形面积等于864平方步，已知它的宽比长少12步；问长和宽的和是多少步？）你回去慢慢算吧，什么时候算出来，什么时候再来 。说完便往椅子上一靠，闭目养起神来，心里却暗暗发笑： 这小子一定犯难了，这道题老朽才刚刚理出点头绪（此题的解法一般要用到二次方程），即使他懂得算学，那一年半载也是算不出来的。
谁料，正当老秀才闭目思量时，少年说话了： 老先生，学生算出来了，长阔共60步。 什么？！ 老秀才一听，惊奇地从椅子上跳起来，一把夺过少年演算出来的草稿纸瞪大了眼睛看起来： 啊，这小子是从哪里学来的？居然用这么简单的方法就算出来了。妙哉！老朽不如。 老秀才转过脸来，对少年夸奖道： 神算，神算，怠慢了，请问高姓大名？ 学生杨辉，字谦光。 少年恭敬地回答。
后来，在老秀才的指导下，杨辉通读了许多古典数学文献，数学知识得到全面、系统地发展。经过不懈的努力，杨辉终于成了我国古代杰出的数学家，并享有数学 宋元第三杰 之誉。
算学制度始于北宋初年，但宋初并不重视算学，至宋神宗元丰年间才开始颁布条例。并于元丰七年（1084年）刻《算经十书》于秘书省。宋哲宗元祐初年的时候，朝廷打算重修算学，但有困难。宋徽宗崇宁三年（1104年）的时候才正式重修算学。
由此可见，到崇宁三年（1104年）的时候，才正式建立算学，即国家培养算学、历法人才的专科学校。当时招收的生员为二百一十人，主要学习各种算法以及历算、三式、天文书等，学业期满，如太学按三舍法 推恩、通仕、登仕、将侍郎 等。到了北宋末年，算学制度颁布了可谓很多，但南宋初年，州、县学皆因战乱而停废，宋高宗绍兴十二年（1142年），宋金和议后，才渐次恢复。
因为时局的缘故，算学的招生生源匮乏，朝廷也是命太史局多次招生，同时要求太史局诸官有缺必须通过秘书省的公试来补，否则一律无效。以上为《宋史》记载的关于南宋数学官方教育发展的情况。事实上，南宋的官学教育是地地道道的 应试教育 ，早已彻头彻尾地沦为了科举制度的附庸，教育也并无自主性和独立性可言。我国的古代社会一向重文不重理，南宋王朝又是在战乱中由于人民的坚决抗敌才得以偏安一隅的，所以官方的算学即数学教育远不如北宋。虽然南宋官学时兴时废，但另一方面，私学却得到了兴起。各类蒙学教育和精舍教育相较于北宋则有了更长足的发展。除官学和私学外，南宋的书院教育更是达到了鼎盛时期。这些使得数学在摆脱了科举制度的束缚之后反而有了新的进步。
从另一面来说，唐代中期以后，社会经济得到较大发展，手工业和商业交易都具有相当的规模，因而，人们在生产、生活中需要数学计算的机会，较前大大增加，这种情况迫切要求数学家们为人们提供便于掌握、快捷准确的计算方法。为适应社会对数学的这种需求，中晚唐时期出现了一些实用的算术书籍。但是，这些书籍除了《韩延算术》被宋人误认为《夏侯阳算经》而坎坷流传到现在外，其余都已失传。
《韩延算术》大约编写于770年前后，书中介绍了很多乘除捷算法的例子。比如，某数乘以42可以化为某数乘以6，再乘以7；某数除以12可以化为某数除以2，再除以6。对于更复杂的问题可同样处理。通过将乘数、除数分解为一位数，可以使运算在一行内实现，简化了运算，提高了速度。杨辉的数学研究与数学教育工作之重点在于改进筹算乘除计算技术，总结各种乘除捷算法，这是由当时的社会状况决定的。杨辉生活在南宋商业发达的苏杭一带，这为进一步发展乘除的算法也提供了条件。
杨辉说： 乘除者本钩深致远之法。《指南算法》以 加减 、 九归 、 求一 旁求捷径，学者岂容不晓，宜兼而用之。 在前人的基础上，他提出了 相乘六法 ：一曰 单因 ，即乘数为一位数的乘法；二曰 重因 ，即乘数可分解为两个一位数的乘积的乘法；三曰 身前因 ，即乘数末位为一的两位数乘法，比如257 21=257 20+257，实际上，身前因就是通过乘法分配律将多位数乘法化为一位数乘法和加法来完成。四曰 相乘 ，即通常的乘法；五曰 重乘 ，就是乘数可分解为两因数的积，作两次相乘；六曰 损乘 ，是一种以减代乘法，比如，当乘数为9、8、7时，可以10倍被乘数中，减去被乘数的 、二、三倍。杨辉还进一步发展了唐宋相传的求一算法，总结出了 乘算加法五术 、 除算减法四术 。求一实际上就是通过倍、折、因将乘除数首位化为一，从而用加减代乘除。杨辉的 乘算加算加法五术 ，即 加一位 、 加二位 、 重加 、 加隔位 、 连身加 。乘数为11至19的，用加一位；乘数为101至199的，用加二位法；乘数可分为两因数的积，且可用加一或加二时，称为重加；乘数为101至109时，用隔位加；乘数为21至29、201至299时，用连身加。例如，342 56的计算，用现代符号写出，便是：342 56=342 112 2=（34200+342 12） 2=（34200+3420+342 2） 2。其 除算减法四术 即 减一位 、 减二位 、 重减 、 减隔位 ，用法与乘算加法类似。
北宋初年出现的一种除法 增成法，在杨辉那里得到进一步的完善。增成法的优点在于用加倍补数的办法避免了试商，但对于位数较多的被除数，运算比较繁复，后人改进了它，总结出了 九归古括 ，包含44句口诀。杨辉在其《乘除通变算宝》中引《九归新括》口诀三十二句，分为 归数求成十 、 归数自上加 、 半而为五计 三类。
客观上讲，杨辉不遗余力改进计算技术，大大加快了运算工具改革的步伐。随着筹算歌诀的盛行，运算速度大大加快，以至人们感觉到摆弄算筹跟不上口诀。在这样的背景下，算盘便应运而生了，及至元末，已经广为流行。
杨辉非常重视数学的普及及教育工作，他主张在数学教育中要贯彻 须责实有 的教育思想。所谓 须责实有 就数学教育的教材内容必须和社会生产、生活实践相结合，所提出的问题必须来自于生产和生活实际。因为普通大众在生活和生产实际中对于数学的需求越来越多，这才使是杨辉对于数学的钻研更多侧重于实用算术方面，尤其是对于筹算乘除算法的简便运用上更是花费了大量的心思和精力。
例如，在杨辉的著作《乘除通变本末》三卷中，几乎每一道题都是跟生活中的经济、纳税、农业、商务等有关系。
细物一十二斤半，税一。今有二千七百四十六斤，问税几何。
粟二千七百四十六石，给一千一百一十一人，问各几何。
在纳头子钱一十九贯一百五十二文，问本税钱若干。
二百三十八亩，每亩收粟二石七斗，问共几何。
绢一万三千一百五十二尺，问为绢几匹。
直田长九十步，阔七十步，问积步。
木炭七千五十六斤，各支百四十七斤，问人数。
开渠积六千八百三十七尺，共用一百五十九工，问一工取土多少。
另外，在《田亩比类乘除捷法》中所涉及到的几何图形名称无不是取自于生活实际当中。如： 直田、方田、圆田、圭田、梯田、牛角田、萧田、墙田 等。这些名称对应着我们现代的几何图形分别为 长方形、正方形、圆形、圆环形、三角形梯形，不规则四边形，倒梯形、半梯形 等。另还有诸如 腰鼓田、鼓田 等。在书中，杨辉还多五次提到 台州量田图 的问题：
台州量田图，有牛角田，用弧矢四法。
台州黄岩县围量田图，有梭田样，即二圭田相并，今立小题验之。
台州量田图，有曲尺田，内曲十二步，外曲二十六步，两头各广七步，问田几何。
台州量田园，有箭翎田，中长八步，东西两畔各长四步，阔一十二步，问田几何。
可见，杨辉对台州非常熟悉，他编入自己书中的这些题目无一不是来自于他工作和生活的实际，如果没有丰富的第一手资料，他很难详尽地叙述并运用这些数据，这种与实际紧密结合，进行数学研究和数学教学的方法，是杨辉数学教育思想的主要特点，也是中国古代数学家们的优良传统之一。为了使数学知识能为普通百姓所理解和掌握，杨辉在编写数学教材的时候，常常把很多深奥的内容用最便于群众的 歌诀 方式表达出来。这恰恰也是中国古代民间数学的特色之一。如 求一乘法 和 求一除法 歌诀：
求一乘法：五六七八九，倍之数不走；
二三须当半，遇四两折纽；
倍折本从法，实即反其有；
用本以代乘，斯数足可守。
求一除法：五六七八九，倍之数不走；
二三须当半，遇四两折纽；
倍折本从法，为除积相就；
用减以代除，定位求如旧。
这样的歌诀就是普通百姓生活中最常见的歌谣，通俗易懂，押韵顺口。这对于人们学习数学的帮助是显而易见的了。杨辉就是用这样的方式培养人们对于数学的学习兴趣。杨辉的数学并不倾向于高深的理论研究，更多都是粗浅的侧重于基础知识的实用数学。数学来自日常生活，又为日常生活服务，这样杨辉的数学在民间便得到了更加广泛的流传和普及。
在教学方法上，杨辉主张循序渐进，精讲多练。先熟练习题的运算，之后再总结算理、算法。《乘除通变本末》一书中，开篇便列有 习算纲目 ，可以说是中国数学教育史上最早的一份数学教育教学大纲。这份数学大纲包括了学习进度、学习内容、学习方法、学习材料以及一些学习重点、难点的提示等。
在 习算纲目 中，杨辉非常强调对习题的熟练运算，练习的时间一般都要比正课多好几倍的时间，有的甚至几十倍， 习算纲目 通篇体现了杨辉由易到难、由浅入深、循序渐进的数学思想以及先熟练运算再明算理的数学主张。
第一阶段，先学 九九合数 ，即九九乘法表。 一一得一，至九九八十一 ，随后安排学习的内容和进度。学习 相乘 ，讲课一日，温习五日； 商除 讲课一日，但温习半个月。以上二种方法，都是从一位数到六位以上数的运算。
第二阶段，学习有关乘除的替代算法。学加法起例并定位，功课一日，温习三日；学减法起便并定位，功课一日，用五日温习等。除了计算法之外，杨辉还指出在熟练运算之后，一定要知道算理的重要性。
第四阶段，就学习 通分 和 开方 了。通常人们认为 通分 很麻烦，但杨辉却要求学生不要认为有什么可麻烦的，认真学一下就好了。他将这些复杂的数学知识化简，化难为易，在编教材时充分考虑学生的心理和知识发展水平，尽量使深奥的数学知识变得更加直观、通俗，使之更容易推广、普及。这种利用社会生活中的课程资源进行是便于普通读者接受，也便于发挥社会效益，同时也便于学生能力的培养。
然后学习 开方 。 开方 是数学中用途很广泛的一部分知识，而且其本身就有七部分知识，即 开平方、开立方、开平圆、开立圆、开分子方、开三乘以上方和带从开方 。所以学习起来自然就要多花些时日，边学边研究，在学习方法上，杨辉提倡熟读精思，融汇贯通；提倡对知识的理解，反对死记硬背，直到能做到融会贯通，活学活用的程度为止。
最后一个阶段，就是要学习传统的《九章算术》了。经过前面几个阶段的基础知识训练之后，在熟练掌握各种算法的基础之上再来学《九章算术》难度就不大了。
在教学方面，杨辉认为，教师编书或讲课时，应该用算法统帅习题。要说明一种算法，都要先设置一种数学问题。每种算法都要有相应的数学题目来验证和练习。在要求学生进行大量的习题训练的同时，杨辉还强调要精选例题，并且在讲清楚算法的来龙去脉之后，启发、引导之中要触类旁通，并提高学习上的自觉性和主动性。可见，杨辉对于学习数学理论知识和运用练习题来理解并加以巩固，这两者之间的重要关系有着很深刻的认识。
杨辉一生治学严谨，教学一丝不苟，他的这些教育思考和方法，至今也有很重要的参考价值。
伟大经典的数学著述 杨辉曾做过地方官，足迹遍及钱塘、台州（今浙江临海）、苏州等地。与他同时代的陈几先称赞他为人儒雅谦和、公正廉洁。杨辉特别注意社会上有关数学的问题，多年从事数学研究和教学工作，是东南一带有名的数学家和数学教育家。他走到哪里都有人请教数学问题。从1261年到1275年的十五年中，他先后完成数学著作五种二十一卷，即《详解九章算法》十二卷，《日用算法》二卷，《乘除通变本末》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷和《续古摘奇算法》二卷（其中《详解》和《日用算法》已非完书），后三种合称为《杨辉算法》。
有一次，杨辉得到一本《黄帝九章算法细草》，这是北宋数学家贾宪写的。这里面有不少了不起的成就，如贾宪描画了一张图，叫作 开方作法本源图 。
杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算术，比如刘益的 正负开方术 ，贾宪的 开方作法本源图 、 增乘开方法 ，幸得杨辉引用，否则，今天将不复为我们知晓。他先后完成数学著作五种二十一卷，即《详解九章算法》十二卷（1261年），《日用算法》二卷（1262年），《乘除通变本末》三卷（1274年），其中《乘除通变本末》三卷，上卷叫《算法通变本末》，中卷叫《乘除通变算宝》，下卷叫《法算取用本末》，下卷是与史仲荣合撰的。
另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格。这些资料对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助。杨辉在著作中收录了不少现已失传的、古代各类数学著作中很有价值的算题和算法，保存了许多十分宝贵的宋代数学史料。他对任意高次幂的开方计算、二项展开式、高次方程的求解、高阶等差级数、纵横图等问题，都有精到的研究。杨辉十分留心数学教育，并在自己的实践中贯彻其教育思想。
杨辉更对于垛积问题（高阶等差级数）及幻方作过详细的研究。由于他在他的著作里提及过贾宪对二项展开式的研究，所以 贾宪三角 又名 杨辉三角 。这比欧洲于17世纪的同类型的研究 帕斯卡三角形 早了差不多五百年。
杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做 开方做法本源 ，现在简称为 杨辉三角 。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，简单来说就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）2等于x2+2xy+y2，这样系数就是1、2、1，这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数。
杨辉三角与我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式，依次下去杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表。
杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。
为普及日常所用的数学知识，杨辉专门写了《日用算法》一书，并提出务必要从实践出发的原则。书中的题目全部取自社会生活，多为简单的商业问题，也有土地丈量、建筑和手工业问题。这种应用数学是便于普通读者接受，也便于发挥社会效益的。这本《日用算法》，可惜早已失传，仅有几个题目留传了下来。从《算法杂录》所引杨辉自序可知该书内容梗概： 以乘除加减为法，秤斗尺田为问，编诗括十三首，立图草六十六问。用法必载源流，命题须责实有，分上下卷。 该书无疑是一本通俗的实用算书。
《乘除通变本末》三卷，皆各有题，在总结民间对等算乘除法的改进上作出了重大贡献。上卷叫《算法通变本末》，首先提出 习算纲目 ，是数学教育史的重要文献，又论乘除算法；中卷叫《乘除通变算宝》，论以加减代乘除、求一、九归诸术；下卷叫《法算取用本末》，是对中卷的注解。
杨辉在台州任知府的时候，有一年春天，杨辉想出外巡游、踏青，一路上，迷人的芳香的气息扑鼻而来，杜鹃隐藏在果树的枝头，用它那圆润、甜蜜、动人心弦的鸣啭来唤醒春天的生机，成群的画眉鸟像迎亲似的蹲在树的枝丫上，发出婉丽的啼声。楝树、花梨树和栗树都仿佛被自身的芬芳熏醉了。杨辉撩起轿帘，看那杂花生树，飞鸟穿林，真乃春色怡人淡复浓，唤侣黄鹂弄晓风。更是一年好景，旖旎风光。
走着、走着，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩童的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事，差人来报： 孩童不让过，说等他把题目算完后才让走，要不就绕道。
杨辉一看来了兴趣，连忙下轿抬步，来到前面。衙役急忙说： 是不是把这孩童哄走？ 杨辉摸着孩童头说： 为何不让本官从此处经过？ 孩童答道： 不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了。
什么算式？
就是把一到九的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于十五。我们先生让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处呢。 孩童一脸天真地说。
杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字好像从哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》书中所写的文章中提及的。杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来，直到天已过午，俩人才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全是十五，这才站了起来。
孩童望着这位慈祥和善的地方官说： 耽搁你的时间了。 杨辉一听，说： 我想见一见你的先生，你看如何？
孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地问道： 到底是怎么回事？ 孩童这才一五一十把原因道出：原来这孩童并未上学，家中穷得连饭都吃不饱，哪有钱读书。而这孩童给地主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决了。
杨辉听到此，感动万分，一个小小的孩童，竟有这番苦心，实在不易。便对孩童说： 这是十两银子，你拿回家去吧。你领我去学堂，好吧？
孩童就带着杨辉找到了先生，杨辉把这孩童的情况向先生说了一遍，又掏出银两，给孩童补了名额，孩童感激不尽。自此，这孩童方才有了真正的先生。
教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学。杨辉说道： 方才我和孩童做的那道题好像是《大戴礼》书中的？ 先生笑着说： 是啊，《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识。方才你说的题目，就是我给孩子们出的数学游戏题。
教书先生看到杨辉疑惑的神情，又说道： 南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过： 九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。
杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道： 你可知道这个九宫图是如何造出来的？ 教书先生也不知出处。杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现一条规律。
他把这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。
纵横图最早起源于中国，通常人们知道最早的幻方就是我国著名的 九宫图 ，早在汉郑玄《易纬注》及《数术记遗》中都记载有 九宫 即三阶幻方，千百年来一直被人披上了神秘的色彩。
幻方的幻在于无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。关于幻方的起源，中国有 河图 和 洛书 之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是 河图 ，也是最早的幻方。又传洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为 洛书 。他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的，这就是我们现在所称的幻方。也有人认为 洛书 是外星人遗物；而 河图 则是描述了宇宙生物（包括外星人）的基因排序规则，幻方是外星人向地球人的自我介绍。
另外前几年在上海浦东陆家嘴地区出土了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂的正面写着： 万物非主，惟有真宰。 伏羲氏凭借着 河图 而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为 洛书 。 洛书 所画的图中共有黑、白圆圈四十五个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数三行三列的幻方称为三阶幻方，除此之外，还有四阶、五阶
幻方最早记载于中国前五百年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在二千五百年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。
13世纪的数学家杨辉已经编制出三至十阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到1514年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。
在国外，十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载，中国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方，除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在印度发现的，那是一个完全幻方（后面会提到），而且比中国的杨辉还要早了两百多年，印度人认为那是天神的手笔。1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方（古阿拉伯数字）。13世纪，东罗马帝国才对幻方产生兴趣，但却没有什么成果。直到十五世纪，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中国的纵横图传给了欧洲人，欧洲人认为幻方可以镇压妖魔，所以把它作为护身符。
《续古摘奇算法》上卷首先列出20个纵横图，即幻方。其中第一个为河图，第二个为洛书，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各两个，九行、十行幻方各一个，最后有聚五、聚六、聚八、攒九、八阵、连环等图。有一些图有文字说明，但每一个图都有构造方法，使图中各自然数 多寡相资，邻壁相兼 凑成相等的和数。
杨辉利用数学方法寻找规律，巧妙地构造出许多别具风格的幻方来，杨辉构造的九宫图，方法简单又巧妙。杨辉在构造了三、四阶幻方的基础上，继续对幻方进行系统研究，陆续地构造出五阶、六阶、七阶、八阶、九阶、十阶幻方。此外，他还突破了幻方为正方形的限制，将它扩大到不同的形状。
杨辉对幻方的研究和推广，大大丰富了这种数字游戏的内容，杨辉的纵横图对后世也深有影响，明代程大位、清代方中通、张潮、保其寿等，都曾在此基础上进一步研究纵横图。直到今天，在国际上一些科学家利用幻方这种变化无穷的特点，把它作为智力测验的工具和智力玩具，提高了它在训练人们机智方面的层次。对幻方的深入研究也为人们带来了新的启示，将幻方中的自然数换成一般的物体，也对它们按一定规则进行安排，并进一步讨论这种安排的存在性问题、计数问题、构造问题和优化问题，就构成了今天的数学分支 组合数学的主要内容。古老的幻方作为历史上最早的组合机构，开创了组合数学的先河，显示了中华民族的聪明才智，近代它还被现在计算机程序设计、人工智能等许多方面都有着广泛的应用。
过去，幻方仅作为一种游戏，近代已经发现，幻方在哲学、美学、美术设计、计算机程序设计、图论、人工智能、对策论、组合分析等方面有广泛的应用。幻方可以应用于哲学思想的研究。在数学中，幻方蕴涵的哲理思想是最为丰富的。《易经》是一本哲学书，它几乎影响了国内外的各种哲学思想。而易学家们通过多方面的研究发现，易学来源于河图洛书，而洛书就是三阶幻方。幻方的布局规律、构造原理蕴涵着天地万物的生存结构，是说明宇宙产生和发展的数学模型。
幻方也可以应用于美术设计。数学是美的，幻方更美。幻方是数学按着一种规律布局的一种体系，每个幻方不仅是一个智力游戏，而且还是一个艺术佳品，都以整齐划一、均衡对称、和谐统一特殊性，迸发出耀人的光辉。幻方可大量应用于美术设计，西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富，并采用幻方组成许多美丽的图案，他把图案中的那些方阵内的线条称为 魔线 ，应用于轻工业品、封面包装设计中，德国著名画家和数学家丢勒的作品《忧郁》中，因有一个能指明制作年代的幻方而闻名于世。艺术美与理性美的和谐组合，往往成为流芳千古的佳作。但长期以来，人们习惯于把它当做纯粹的数学游戏，并没有给予应有的重视。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学领域中都找到了用武之地。杨辉研究出三阶幻方（也叫洛书或九宫图）的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。
杨辉的另一重要成果是垛积术。这是杨辉继沈括 隙积术 之后，关于高阶等差级数求和的研究。在《详解九章算法》和《算法通变本末》中记叙了若干十二阶等差级数求和公式。
杨辉数学著作的特点是深入浅出、图文并茂，很适于教学，而且有不少创新。另外，杨辉的书中不仅记录了一些古代有价值的数学成果，杨辉在《详解九章算术》的基础上，专门增加了一卷 纂类 。 纂类 中杨辉提出 因法推类 的原则。正如郁松年所说，《纂类》以 算法为纲 ， 以类相从 。这种思想与《九章算术》相比是一个进步，因为《九章算术》的分类标准并不一致，有的按用途分，有的按算法分。杨辉则突破了原书的分类格局，按算法的不同，将书中所有题目分为乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。
每一大类中，由总的算法演绎出不同的具体方法，并给出相应的习题。例如， 方程 类便依次给出方程、损益、分子、正负四法， 方程法曰：所求率互乘邻行，以少减多，再求减损，钱为实，物为法，实如法而一。 这是解线性方程组的基本方法，此法后的十一个题全是基本类型，可直接列出最简方程组。 损益 指的是移项及合并同类项，分子术指去分母的方法，正负术指方程变换时所用的正负数运算法则，各法后分别列有相应的具体题目。这种作法体现了由干生枝的演绎思想，方程法是干，损益、分子、正负三法是枝。再如 勾股类 ，共设38问，分别置于21种方法之后，而第一种方法 勾股求弦法（即 勾股各自乘，并而开方除之 ）是后面各法的基础，这种顺序也体现了演绎思想。
杨辉不仅总结了当时的各种数学知识，还批评了以往数学著作中的一些错误，这种作法在杨辉以前的算书中很少见。例如，他在《田亩比类乘除捷法》一书中便批评了《五曹算经》中的三个错误，一是在田亩计算中用方五斜七之法（即把正方形边长与对角线之比取作5：7），二是题问概念不清，三是四不等田求法之误。
杨辉数学的历史地位及影响 杨辉的数学著作不仅广泛征引古代数学典籍，更重要的是保留了部分极其宝贵的数学史料。杨辉在中国古代数学史上占有的地位已经不言而喻。他和秦九韶、李治、朱世杰并称 宋元数学四大家 。杨辉和秦九韶同在南方发展数学，但二人的数学成就却各自开花，李治作为北方数学的代表，使天元术得到了更进一步的发展，朱世杰连同了南北数学，秉承了北方数学的优秀，更继承了杨辉的实用数学，为元代以及明代的实用数学奠定了基础。
《九章算术》作为中国古代的经典数学，历来有多种的版本，传到杨辉时期，可能在体系和内容的编排上有了跟不上时代的地方。比如说有些内容过于深奥，体例的安排有些混乱，对于初学者和普通民众的学习和研究就有了很大的难处。于是，杨辉根据自己的学识对经典的《九章算术》的体例安排进行改革、对内容进行大胆调整。并且在复杂和枯燥的数学基础之上，亲自绘图，作了一整卷的绘图解说（在流传过程中丢失了，我们现代人无法亲睹其绘图风采），使得深奥莫测的经典《九章算术》不再远离人民生活。于是便有了我们现代人所能看到和研究的《详解九章算术》。在这部著作里，我们不仅能看到杨辉以经典的剖析和解读，还能大胆提出自己独到的见解和解题方法，展现了杨辉高超的数学才能。更为重要的是，杨辉继承了北宋数学家们的数学成就，在自己的著作中引用并标明出处，使得我们后人在研究中国古代数学史时能够不断代，而且为领先世界的数学成就找到了史实依据，让我们不得不惊叹和折服我们古代先人们光辉的数学研究。
为了使数学更好地服务于生产实践，杨辉还亲自编写更简单易学的数学基础教材 七卷本《杨辉算法》。在这些著作里，杨辉更是发挥了自己的数学才能，不仅对于数学知识能够做到深入浅出，还能把深奥的数学理论编成为普通民众所乐于学习和背诵的歌诀。不仅如此，杨辉《乘除通变本末》开篇的 教学大纲 更是开创了古代数学教育无大纲作指引的先河，成为数学史上不可多得的宝贵财富。
杨辉对《九章算术》的整理，对唐宋以来乘除法简便运算的发展，以及纵横图的研究等，无不对后世元、明、清的数学，甚至是周边朝鲜、日本以及阿拉伯的数学都产生了深远的影响。
朝鲜半岛与中国山水相连，交通便利，自古便与中国来往不断。中国的制度、礼乐、文化以及天文历算等源源不断地传入朝鲜。从三国时代开始，朝鲜就一直采用中国的历法，官方使用汉字作为书面语言，并且学校的数学教育沿用的也是中国算书。
从935年王氏高丽王朝到1392年开始的李氏朝鲜王朝，中国经历了宋、辽、金、元、明大约四百年间的历史，此期间中朝两国和平相处。宋元明各代对于探购书籍以及往返通商都有限制，但对朝鲜则特别例外。因此中国大部分数学典籍著作均传入朝鲜。明代失传的天元术，在朝鲜保存了下来。明初勤德书堂在1378年冬至刊印过的《杨辉算法》，中国已经失传，但朝鲜仍留有刊本。
《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷共七卷，总称《杨辉算法》。此书何时传入朝鲜，并未有一个确切的时间。但在李氏朝鲜期间，在1431年，明初的洪武《杨辉算法》刊本则被列为官方使用的教科书，和《详明算法》《算学启蒙》等书一起被指定为官方科举考试取用人才的指定算书。在《杨辉算法》被确定为官方数学书之后，李氏世宗又命人重新刊印了此书。即1433年根据洪武本所刊印的重刊本。此次重新刊印期间，参与刊印的人员达几十人之多，这一方面说明李氏王朝对此次刊印算书的重视，另一方面也说明当时社会对《杨辉算法》的需求迫切。
十七世纪之前，朝鲜一直沿用中国算书，并没有自己本国的算学著作。直到十七世纪中期，朝鲜才开始本国自著数学著作，并出现了一大批优秀的数学家，使得朝鲜本国的数学进入了迅速的发展时期。在此期间，《杨辉算法》一直是作为朝鲜国家考试的指定用书，所以学习此书的朝鲜人员数量便相当庞大，流传广，普及面大。尤其是从事数学的朝鲜数学家们更是对《杨辉算法》进行了深入研究，并在自己的著作中大量引用杨辉的数学成就。
十七世纪到十八世纪是朝鲜数学兴起和发展的重要时期，在这一时期，不仅是朝鲜数学家们对《杨辉算法》进行研究和探讨，普通的知识分子也在学习。因此，《杨辉算法》对朝鲜数学人才的培养、数学知识的传播和普及以及数学的研究和著述等方面无疑是起到了巨大的作用。
明代前期，在中日对外贸易中，中国的文化典籍等也被输入日本。十七世纪后期以来，随日本数学家引进、吸收中国算学工作的深化，其工作重点已经从研究明代数学转向了研究宋代数学为主，在传入日本的宋元数学著作中，《算学启蒙》和《杨辉算法》是其中流传最广、影响最大的两部著作，它们对日本数学的高度发展起到了重要的奠基作用。
最早研究《杨辉算法》的是被称为 日本算圣 的数学史家关孝和。关孝和抄写并订正了由朝鲜传入日本的朝鲜覆刻本《杨辉算法》，所以《杨辉算法》对关孝和的数学工作产生了很大的影响。《杨辉算法》中的解高次方程的方法、求同余式组的解法、重差术及纵横图等，无不影响着关孝和以及其弟子对数学的研究工作。其著作《大成算法》中更是多次引用《杨辉算法》的内容。
另外，关孝和对纵横图的研究也是师承杨辉，并有著作《方阵之法 圆攒之法》。在书中附图多幅，三附至十阶俱全，分别称为三方阵、四方阵 十方阵，除三方阵与洛书图相同外，其余图形均为自己独立创新。
作为一个数学家，杨辉在实用算术和高等数学以及几何学等方面都做出了巨大的贡献；作为一个数学教育家，杨辉为数学的普及及实用尽心尽力。虽然杨辉本人的生活境况并未留下更多的文字记载，使们后人对于这样一位伟大的数学家及数学教育家少了很多的了解，但杨辉的数学成就还是通过他的数学著作保存和流传了下来。尽管在流传的过程中，散失了部分，然而我们依然可以通过保留下来的作品窥见杨辉的伟大。
杨辉生活在南宋末期，社会的动荡，封建体制的弊端，都对杨辉本人为数学的发展和推广造成了困难和缺憾，甚至说是不足，但这些历史造成的局限掩盖不了杨辉作为一个中国古代数学巅峰时代 宋元时期的代表人物的伟大和光辉。

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